Правильна ли информация, что Пророк ﷺ выражал порицание тем, кто занимался поисками пропажи в мечети, и не желал им успеха в этом?

Посланник Аллаха ﷺ сказал: «Пусть тот, кто услышит, как (какой-нибудь) человек спрашивает в мечети о пропаже, скажет: “Да не вернёт тебе этого Аллах!” — ибо, поистине, мечети были построены не для этого» (Муслим). Имеется в виду, что они были построены только для молитв, поминания Аллаха и распространения знания.
Кроме того, Посланник Аллаха ﷺ сказал: «Если увидите того, кто станет (что-либо) продавать или покупать в мечети, скажите: “Да лишит Аллах прибыльности твою торговлю!”, а если увидите разыскивающего пропажу, скажите: “Да не вернет тебе этого Аллах!”» (Ад-Дарими, ан-Насаи).

После совершения намаза я вдруг обнаружил на своей одежде несколько волос от шерсти кошки. Действителен ли мой намаз?

Кошка является чистым животным (не наджасом). У нас нет сведений о том, что Пророк ﷺ остерегался или приказал остерегаться этого. Поэтому нет ничего плохого в том, что к вашей одежде для молитвы прицепились волосы из кошачьей шерсти.

Мне сказали, что во время омовения надо экономить воду, т.е. закрывать время от времени кран с водой, чтобы вода не текла без надобности. Насколько это верно и есть ли этому доказательства?

Есть такое понятие, как «исраф» — чрезмерная трата того, что можно направить на благие дела, и это является одним из грехов. В данном случае не надо делать исраф воды при омовении, поэтому нужно либо закрывать воду, либо делать напор несильным. Анас (да будет доволен им Аллах) рассказывал: «Когда Пророк ﷺ купался, он расходовал на это от одного са до пяти муддов воды, на малое омовение он обычно расходовал один мудд воды» (Аль-Бухари, Муслим). Один са воды — это четыре мудда, а один мудд — приблизительно пол-литра воды. Сообщается, что однажды, когда Пророк ﷺ проходил мимо Сада ибн Абу Уаккъаса (да будет доволен им Аллах), который совершал омовение, он сказал: “Что это, о Сад, излишество (исраф)?!” Сад спросил: “А разве в омовении есть исраф?!” Пророк ﷺ сказал: “Да, даже если ты возле протекающей реки!”» (Ахмад).